Question

如圖，△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，CA是⊙O的切線，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．
（1）求證：CE=CF；
（2）若sinB=

3

5

，求DF：CF的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)圓周角定理以及切線的性質(zhì)，以及直角三角形的兩銳角互余即可證得∠AFD=∠AEC，進(jìn)而證得∠EFC=∠AEC，根據(jù)等角對等邊即可證得；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)證明∠ACD=∠B，作FG⊥AC于點(diǎn)G，則FG=DF，利用三角函數(shù)的定義即可求解．

解答：（1）證明：∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠AFD+∠DAF=90°．
∵CA是⊙O的切線，
∴∠ACB=90°，
∴∠AEC+∠EAC=90°，
又∵∠DAF=∠EAC，
∴∠AFD=∠AEC，
又∵∠EFC=∠AFD，
∴∠EFC=∠AEC，
∴CE=CF；

（2）解：作FG⊥AC于點(diǎn)G．
∵直角△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
又∵∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B．
∵AE平分∠BAC，
∴FG=DF，
又∵在直角△CFG中，sin∠ACD=sinB=

FG

FC

=

3

5

，
∴DF：CF=FG：FC=3：5．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，三角函數(shù)的性質(zhì)，正確作輔助線，作出與DF相等的線段是關(guān)鍵．