在一個(gè)邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中.

（1）如圖1，如果N是AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，連接DF，CN.
①求證：DF=CN；
②連接AC.求DH:HE: EF的值；
（2）如圖2，如果點(diǎn)E、M分別是線段AC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0），連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MN⊥DF于H，交AD于N.判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假，并說明理由. （4分）

（1）①證明見解析；②6:4:5；（2）該命題為真命題.

解析試題分析：（1）①已知題中告訴的結(jié)論四邊形為正方形，那么就知道AD=CD，,又知道N是AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，那么就可以得到AF=DN，由此證明△ADF≌△DCN，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②可以根據(jù)三角形面積之比來確定線段比例，可以將三條線段歸結(jié)到一個(gè)大的三角形ADF中去，然后設(shè)出未知數(shù)來求解；（2）要判斷命題是否正確，我們采用的方法有兩種：一是反證法；二是直接證明，本題中可以采用直接證明法，結(jié)合三角形的全等以及線段比例的性質(zhì)，設(shè)出比例系數(shù)即可得到問題的答案.
試題解析：（1）①易證△ADF≌△DCN，則DF=CN；
②6:4:5
（2）該命題為真命題.
過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，
依題意得，AE=，易求AG=EG=t，
CM=t，DG=DM=
易證△DGE≌△MDN，∴，
由△ADF∽△DMN，得，
又∵點(diǎn)F是線段AB中點(diǎn)，AB=AD，
∴，∴DM=2DN，即點(diǎn)M是CD的三等分點(diǎn).
考點(diǎn)：1.正方形；2.三角形全等；3.相似三角形的性質(zhì).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4，將這副直角三角板按如圖(1)所示位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上．現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖(2)，當(dāng)三角板DEF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)EF與BC交于點(diǎn)M，則∠EMC=     度；

(2)如圖(3)，在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求FC的長；

(3)在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)D在BA的延長線上時(shí)，設(shè)BF=x，兩塊三角板重迭部分的面積為y．求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出對(duì)應(yīng)的x取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，若以原點(diǎn)為位似中心，將五邊形AEDCB放大，使放大后的五邊形的邊長是原五邊形對(duì)應(yīng)邊長的3倍，請(qǐng)?jiān)谙聢D網(wǎng)格中畫出放大后的五邊形。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

為了測(cè)量校園水平地面上一棵樹的高度，數(shù)學(xué)興趣小組利用一根標(biāo)桿、皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測(cè)量方案.已知測(cè)量同學(xué)眼睛A、標(biāo)桿頂端F、樹的頂端E在同一直線上，此同學(xué)眼睛距地面1.6米，標(biāo)桿為3.1米，且BC=1米，CD=5米，請(qǐng)你根據(jù)所給出的數(shù)據(jù)求樹高ED.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

閱讀理解：
如圖1，若在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)A，B不重合），分別連結(jié)ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)．解決問題：
（1）如圖1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E；
拓展探究：
（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處．若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的值．

圖1                 圖2                       圖3

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，□ABCD中，E為BC延長線上一點(diǎn)，AE交CD于點(diǎn)F，若，AD=2，∠B=45°，，求CF的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)（），解答下列問題：

（1）當(dāng)為何值時(shí)，PQ∥BC？
（2）設(shè)△AQP的面積為y（），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由；
（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時(shí)刻，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，且AD=AC，DE⊥BC，與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F.

（1）求證：△ABC∽△FCD；
（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面積.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

網(wǎng)格圖中每個(gè)方格都是邊長為1的正方形．若A，B，C，D，E，F(xiàn)都是格點(diǎn)，試說明△ABC∽△DEF．

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同步練習(xí)冊(cè)答案