Question

4．已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC外，連接BD、CD，且∠BDC=120°，BD=DC，點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上，連接DM、DN、MN，∠MDN=60°，探究：△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．
（1）如圖1，當(dāng)DM=DN時(shí)，$\frac{Q}{L}$=$\frac{2}{3}$；
（2）如圖2，當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想$\frac{Q}{L}$=$\frac{2}{3}$；并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由于△DBM≌△DCN可以設(shè)BM=CN=2a，求出兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，延長(zhǎng)MB到K，使得BK=CN，連接DK，通過(guò)三角形全等，只要證明AM+MN+AN=AB+AC=2AB即可．

解答 解：（1）如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠A=∠ACB=60°，
∵DB=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCN=90°，
在RT△DBM和RT△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△DCN，
∴MB=CN，∠BDM=∠CDN=$\frac{1}{2}$（∠BDC-∠MDN）=30°，設(shè)MB=CN=a，則DM=DN=2a，
∵∠A=60°，AM=AN，∠MDN=60°，DM=DN，
∴△AMN和△DMN都是等邊三角形，
∴AM=MN=AN=2a，AB=BC=AC=3a，
∴$\frac{Q}{L}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為$\frac{2}{3}$．
（2）結(jié)論：$\frac{Q}{L}$=$\frac{2}{3}$．
證明：如圖2中，延長(zhǎng)MB到K，使得BK=CN，連接DK
在RT△DBK和RT△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{∠DBK=∠DCN=90°}\\{BK=CN}\end{array}\right.$，
∴△KBD≌△NCD，
∴DK=DN，∠CDN=∠KDB，
∵∠MDK=∠MDB+∠KDB=∠MDB+∠NCD=120°-60°=60°=∠MDN，
在△MND與△MKD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DM}\\{∠MDK=∠MDN}\\{DK=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMK≌△DMN，
∴MN=MK=MB+BK=MB+CN
∴Q=AM+AN+MN=AM+BM+AN+CN=AB+AC=2AB，
∵L=3AB，
∴$\frac{Q}{L}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)這種輔助線的添加方法，屬于中考�？碱}型．