Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，求證：以AB為直徑的⊙O與斜腰CD相切．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：如圖，作輔助線；運用面積公式列出等量關(guān)系，得到點O到DC的距離等于以AB為直徑的⊙O的半徑，問題即可解決．

解答：證明：如圖，取AB的中點O，
過點O作OM⊥CD，連接OD、OC；
設(shè)梯形ABCD、△OAD、△OBC、
△OCD的面積分別為α、β、γ、θ；
則α=

1

2

(AD+BC)AB=

1

2

(AD+BC)×2OA，
∵AB=2OA（設(shè)OA為λ），AD+BC=CD，
∴α=λCD；
又∵β=

1

2

AD•λ，γ=

1

2

BC•λ，θ=

1

2

CD•OM，
且α=β+γ+θ，
∴λCD=

1

2

（AD+BC）λ+

1

2

CD•OM，
而AD+BC=CD，
∴2λ=λ+OM，
∴OM=λ，即點O到DC的距離等于以AB為直徑的⊙O的半徑，
∴以AB為直徑的⊙O與斜腰CD相切．

點評：該題主要考查了切線的判定及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活選用切線的判定方法；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．