Question

已知：在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交線段AE于F．
（1）如圖1，若AE=AD，∠ADC=60°，請直接寫出CD、AF、BE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，若AE=AD，你在（1）中得到的結(jié)論是否依然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，若

AE

AD

=

m

n

，試探究CD、AF、BE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出BE=

1

2

AB，證△ADF≌△EAB，推出AF=BE，即可得出答案．
（2）延長FA至G，使AG=BE，證△GAD≌△BEA，推出DG=AB，求出GD=GF，即可推出答案；
（3）延長EA至G，使

BE

AG

=

m

n

，連結(jié)DG，證△GAD∽△BEA，推出DG=

n

m

AB=

n

m

CD，同理可得GD=GF=AG+AF=

n

m

BE+AF，即可推出答案．

解答：解：（1）CD=AF+BE，
理由是：如圖1，∵∠ADC=60°，DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF=30°，
∵平行四邊形ABCD，
∴∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，AB=CD，
∵AE⊥BC，
∴∠DAF=∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°=∠ADF，
∴BE=

1

2

AB=

1

2

CD，
在△ADF和△EAB中，

∠ADF=∠BAE AD=AE ∠DAF=∠AEB

，
∴△ADF≌△EAB（ASA），
∴AF=BE=

1

2

CD，
∴CD=AF+BE．

（2）結(jié)論仍然成立．
證明：如圖2，延長FA至G，使AG=BE，
在△DAG和△AEB中，

AD=AE ∠GAD=∠AEB AG=BE

，
∴△DAG≌△AEB（SAS），
∴∠GDA=∠BAE，GD=AB=CD，
又∵平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ADC=90°，
∴∠GDF=90°-∠CDF，
在Rt△DAF中，∠AFD=90°-∠ADF，
∴∠GFD=∠GDF，
∴GF=GD，
∴GD=AF+AG，
∴CD=AF+BE．
（3）CD=BE+

m

n

AF，
如圖2，延長EA至G，使

BE

AG

=

m

n

，連結(jié)DG，
則

BE

AG

=

AE

AD

=

m

n

，∠AEB=∠DAG，
∴△ABE∽△DGA，
∴

AB

DG

=

m

n

，
∴DG=

n

m

AB=

n

m

CD；
同理（2）可得GD=GF=AG+AF=

n

m

BE+AF，
∴

n

m

CD=

n

m

BE+AF；
∴CD=BE+

m

n

AF．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力．