Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，求y的取值范圍；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△BCM是等腰三角形，若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣1，0）、B（3，0）分別代入y=x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）

（2）解：∵在y=x2﹣2x﹣3中，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），

∴當(dāng)0＜x＜3時(shí)， 的取值范圍為：﹣4≤y＜0

（3）解：存在.由（1）和（2）可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線 ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），

∴可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，m），由此可得：CB2=18；CM2= ；BM2= .

①當(dāng)CB2=CM2時(shí)，有 ，解得： ；

②當(dāng)CB2=BM2時(shí)，有 ，解得： ；

③當(dāng)CM2=BM2時(shí)，有 ，解得： ；

綜上所述，存在點(diǎn)M使△BCM是等腰三角形，M的坐標(biāo)為： 、 、 、 、 .

【解析】（1）方法一、將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，建立方程組，求出b、c的值，就可求出函數(shù)解析式；再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可。方法二、根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，設(shè)函數(shù)解析式為交點(diǎn)式，即可求出函數(shù)解析式。
（2）由拋物線的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)，可知當(dāng)x=1時(shí)，y最小值=4，當(dāng)x=3時(shí)，y=0；當(dāng)x=0時(shí)，y=3 ，由此可求出當(dāng)0＜x＜3時(shí)，求y的取值范圍。
（3）利用函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)已知可知點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，因此設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，m），再根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，分別表示出CB2、CM2、BM2。然后分情況討論：①當(dāng)CB2=CM2時(shí)，②當(dāng)CB2=BM2時(shí)，③當(dāng)CM2=BM2時(shí)，建立方程求解即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。