Question

3．如圖，在Rt△OAB，∠OAB=90°，OA=AB=6，將△OAB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到△OA₁B₁．連結(jié)AA₁
（1）求證：四邊形OAA₁B₁是平行四邊形；
（2）求線段AB掃過(guò)的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOA₁=90°，∠OA₁B₁=∠OAB=90°，OA=AB=OA₁=A₁B₁，則可判斷OA∥A₁B₁，然后根據(jù)平行四邊形的判定方法即可得到結(jié)論；
（2）如圖，先利用勾股定理計(jì)算出OB=6$\sqrt{2}$，然后根據(jù)扇形面積公式，利用線段AB掃過(guò)的面積=S_扇形BOB1+S_△AOB-S_扇形AOA1-S_△A1OB1=S_扇形BOB1-S_扇形AOA1進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵△OAB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到△OA₁B₁，
∴∠AOA₁=90°，∠OA₁B₁=∠OAB=90°，OA=AB=OA₁=A₁B₁，
∵∠AOA₁=∠OA₁B₁，
∴OA∥A₁B₁，
而OA=A₁B₁，
∴四邊形OAA₁B₁是平行四邊形；
（2）如圖，
∠OAB=90°，∵OA=AB=6，
∴OB=$\sqrt{2}$OA=6$\sqrt{2}$，
線段AB掃過(guò)的面積=S_扇形BOB1+S_△AOB-S_扇形AOA1-S_△A1OB1
=S_扇形BOB1-S_扇形AOA1
=$\frac{90•π•（6\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{90•π•{6}^{2}}{360}$
=9π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了平行四邊形的判定與扇形面積公式．