Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，連接DE．
（1）求證：直線DF與⊙O相切；
（2）若CD=3，BF=1，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，利用AB=AC，OD=OC，證得OD∥AB，易證DF⊥OD，故DF為⊙O的切線；
（2）根據(jù)內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠AED+∠ACD=180°，由于∠AED+∠BED=180°，得到∠BED=∠ACD，由于∠B=∠B，推出△BED∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，∠DEB=∠ODC，得到∠B=∠DEB，求得BE=2BF=2，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，BC=6，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖，
連接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴直線DF與⊙O相切；

（2）解：∵四邊形ACDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，∠DEB=∠ODC，
∴∠B=∠DEB，
∴BD=DE，
∴BE=2BF=2，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴BC=6，
∴$\frac{3}{AB}=\frac{2}{6}$，
∴AB=9，
∴AE=AB-BE=7．

點(diǎn)評 此題考查切線的判定，三角形相似的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．