Question

拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)．

(1)求出一個(gè)符合上述條件的拋物線的解析式；

(2)若拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0，)，點(diǎn)E(x，y)是拋物線上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，四邊形OEBF是以O(shè)B為對(duì)角線的平行四邊形．

①求□OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)□OEBF的面積為時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷此時(shí)四邊形OEBF是否為菱形？

②是否存在點(diǎn)E，使四邊形OEBF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知可得拋物線的對(duì)稱軸為x＝1． 　　設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋h．將(－1，0)代入，得4a＋h＝0． 　　取a＝－1，h＝4得y＝－(x－1)2＋4，即為符合條件的解析式． 　　注意：答案不唯一，正確即可． 　　(2)①將C(0，)代入y＝a(x－1)2＋h，得a＋h＝． 　　由(1)知4a＋h＝0，解得a＝－，h＝2． 　　拋物線的解析式為：y＝－(x－1)2＋2． 　　因?yàn)辄c(diǎn)E(x，y)是拋物線上位于x軸上方的點(diǎn)， 　　所以y＞0，y即為點(diǎn)E到x軸的距離． 　　又因?yàn)镺B是□OEBF的對(duì)角線， 　　所以S＝2S△OEB＝2××OB×y＝－(x－1)2＋6． 　　因?yàn)閽佄锞�與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)， 　　所以自變量x的取值范圍是－1＜x＜3． 　　所以S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S＝－(x－1)2＋6(－1＜x＜3)． 　　當(dāng)S＝時(shí)，有－(x－1)2＋6＝． 　　解得x1＝，x2＝． 　　故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)， 　　分別為E1(，)，E2(，)， 　　點(diǎn)E1不滿足OE＝BE，此時(shí)，□OEBF不是菱形， 　　點(diǎn)E2滿足OE＝BE，此時(shí)，□OEBF是菱形． 　�、诋�(dāng)OB⊥EF，且OB＝EF時(shí)，□OEBF是正方形，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是(，)． 　　但坐標(biāo)為(，)的點(diǎn)不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)E使□OEBF為正方形．