【題目】如圖1,拋物線y=ax2﹣6x+c與x軸交于點A(﹣5,0)、B(﹣1,0),與y軸交于點C(0,﹣5),點P是拋物線上的動點,連接PA、PC,PC與x軸交于點D.

(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;

(2)若點P的坐標為(﹣2,3),請求出此時△APC的面積;

(3)過點P作y軸的平行線交x軸于點H,交直線AC于點E,如圖2.

①若∠APE=∠CPE,求證:=;

②△APE能否為等腰三角形?若能,請求出此時點P的坐標;若不能,請說明理由.

【答案】(1)y=x26x5;(2)15;(3)證明見解析;(4)能,P(1,0)或(2,3)或(,76).

【解析】

試題分析:(1)把B、C坐標代入 解析式中可求得a,c的值,解析式即可求出;(2)過P作PQx軸交AC于點Q.由條件易求AC解析式.把P點橫坐標到直線AC解析式中求出Q點坐標.則CPQ與APQ面積可求出,從而APC面積可求;(3)易證AP=PD,AH=DH,PHD ∽△COD,設(shè)OH=p.則PH=-p2+6p-5,DH=AH=5-p,OD=2p-5,利用=,求出p值,求的AH,OH的長,再根據(jù)平行線分線段成比例,得出=,可證明結(jié)論;設(shè)P(x,x26x5),則E(x,x5),分類討論:當PA=PE,易得點P與B點重合,此時P點坐標為(1,0);當AP=AE,如圖2,利用PH=HE得到|x26x5|=|x5|,當EA=EP,如圖2,AE= EH= (x+5),PE=x2+5x,則x2+5x= (x+5),然后分別解方程求出x可得到對應(yīng)P點坐標.

試題解析:(1)把B(-1,0)、C(0,-5)坐標代入y=ax2﹣6x+c中,得,解得拋物線解析式為y=x26x5;(2)設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,把A(5,0),C(0,5)代入得,解得直線AC的解析式為y=x5,作PQy軸交AC于Q,如圖1,則Q(2,3),PQ=33)=6,SAPC=SAPQ+SCPQ=PQ5=×6×5=15;(3)①∵∠APE=CPE,PHAD,AP=PD,AH=DH.設(shè)OH=p,則PH=-p2+6p-5,DH=AH=5-p,OD=2p-5. ∵∠PHD=DOC=90°,PDH=ODC,∴△PHD ∽△COD,=,,解得p1=,p2=5(舍去).OH=,AH=.OCHE,==.能.設(shè)P(x,x26x5),則E(x,x5),當PA=PE,因為PEA=45°,所以PAE=45°,則點P與B點重合,此時P點坐標為(1,0);當AP=AE,如圖2,則PH=HE,即|x26x 5|=|x5|,解x26x5=x5得x1=5(舍去),x2=0(舍去);解x26x5=x+5得x1=5(舍去),x2=2,此時P點坐標為(2,3);當EA=EP,如圖2,AE= EH= (x+5),PE=x5x26x5)=x2+5x,則x2+5x= (x+5),解得x1=5(舍去),x2=,此時P點坐標為(,76),綜上所述,滿足條件的P點坐標為(1,0),(2,3),(76).

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