Question

【題目】如圖，在正方形中，是邊上的動點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），且，于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)，連接、．

（1）求證：①；②；

（2）若，在點(diǎn)運(yùn)動過程中，探究：

①線段的長度是否改變？若不變，求出這個定值；若改變，請說明理由；

②當(dāng)為何值時，為等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）①在點(diǎn)運(yùn)動過程中，的長度不變，且CG=2；②AE=．

【解析】

（1）①由題意易得△DEF是等腰直角三角形，即得DE=DF，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS即可證得結(jié)論；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)余角的性質(zhì)可得，從而可得，于是可得結(jié)論；

（2）①由、可得，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即得結(jié)論；

②解法一：如圖1，延長交于點(diǎn)，易證是等腰直角三角形，即，設(shè)，則，由為等腰直角三角形可得，進(jìn)而可得，由即可求出x的值，即為AE的值；

解法二：如圖2，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)AAS易證，所以，，從而可得是等腰直角三角形，由CG=2可得MC的長，進(jìn)而可得MB的長，即為AE的長；

解法三：如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由B、C、F、G四點(diǎn)共圓可得∠BCG=∠BFG=45°，從而可得是等腰直角三角形，可得，進(jìn)而可得NH的長，由即可求出FC，即為AE的長．

（1）證明：①∵四邊形是正方形，

∴，．

∵，

∴△為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴；

②∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）①在點(diǎn)運(yùn)動過程中，的長度不變．

∵，，

∴．

∵，

∴（定值）；

②解法一：如圖1，延長交于點(diǎn)．

∵，，

∴．

∵，

∴是等腰直角三角形，即．

設(shè)，則．

∵為等腰直角三角形，，

∴．

∵，

∴，

∴．

在等腰中，∵，∴．

解得：，即．

②解法二：如圖2，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，則∠MGB=∠CGF，

∵∠M+∠MCG=90°，∠GCF+∠MCG=90°，

∴∠M=∠GCF，

又∵GB=GF，

∴，

∴，，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴．

②解法三：如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵∠BGF+∠BCF=180°，

∴B、C、F、G四點(diǎn)共圓，

∴∠BCG=∠BFG=45°，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

∵，即，

∴，

∴．