【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=4,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同,當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P,M是線段BC上任意一點(diǎn),則MD+MP的最小值為.

【答案】2.

【解析】

試題分析:本題主要考查的是最短路徑問題,由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.首先作出點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′,從而可知當(dāng)點(diǎn)P、M、D′在一條直線上時(shí),路徑最短,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合,點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí),PG和GD′均最短,即PD′最短,然后由正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知:PG=2,GD′=6,最后由勾股定理即可求得PD′的長(zhǎng),從而可求得MD+MP的最小值.

如圖作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′,連接PD′,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知:MD=D′M,CD=CD′=4,

PM+DM=PM+MD′=PD′過點(diǎn)P作PG垂直于C,垂足為G,易證AFBE,故可知P的軌跡為以AB為直徑的四分之一圓弧,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合,點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí),PG和GD′均最短, 此時(shí)PD′最短.

四邊形ABCD為正方形,

PG=AD=2,GC=DC=2.

GD′=6.

在Rt△PGD′中,由勾股定理得:PD′===2

故答案為2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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;

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X

0

1

3

4

y

2

4

2

﹣2

則下列判斷中正確的是( 。

A. 拋物線開口向上 B. y最大值為4

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