Question

如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=a，PB=2a，PC=3a．將△APB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與BC重合，連接PP′，得到△PBP′．
（1）求證：△PBP′是等腰直角三角形；
（2）猜想△PCP′的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：由圖形旋轉(zhuǎn)可知：△BAP≌△BCP′，
∴BP=BP′=2a，AP=CP′=a，∠ABP=∠CBP′．
由四邊形ABCD是正方形，得∠ABC=90°，
∴∠PBP′=90°，
∴△PBP′是等腰直角三角形．

（2）由（1）知△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′==，
在△CPP′中，PP′=，PC=3a，CP′=a，
且a²+（）²=9a²=（3a）²，
∴△PCP′是直角三角形．
分析：（1）∵△APB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△PBP′，∴旋轉(zhuǎn)角為90°，且BP與BP'是對應(yīng)邊，可證△PBP′是等腰直角三角形；
（2）由（1）可知PB=PB'=2a，用勾股定理得PP′的長，又P′C=PA=a，PC=3a，在△PP′C中運(yùn)用勾股定理判斷三角形的形狀．
點(diǎn)評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．