Question

如圖，在△ABC中，三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，求證：MN⊥DE．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線,線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接DM、EM，DN、EN，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=EM=

1

2

PC，DN=EN=

1

2

AB，再根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線判斷出點(diǎn)M、N都在DE的垂直平分線上，從而得證．

解答：證明：如圖，連接DM、EM，DN、EN，
∵AD、BE、CF都是三角形的高，點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，
∴DM=EM=

1

2

PC，DN=EN=

1

2

AB，
∴點(diǎn)M、N都在DE的垂直平分線上，
∴MN⊥DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．