Question

【題目】定義：對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)a，如果a滿足個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)兩位數(shù)為“迥異數(shù)”．將一個(gè)“迥異數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，把這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為f（a）．例如：a=12，對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)21，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為21+12=33，和與11的商為3311=3，所以f（12）=3．

根據(jù)以上定義，回答下列問(wèn)題：

（1）填空：

①下列兩位數(shù)：40，42，44中，“迥異數(shù)”為 ；

②計(jì)算：f（23）= ．

（2）如果一個(gè)“迥異數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個(gè)位數(shù)字是2（k+1），且f（b）=11，請(qǐng)求出“迥異數(shù)”b．

（3）如果一個(gè)“迥異數(shù)”c，滿足c5f（c）30，請(qǐng)直接寫出滿足條件的c的值．

Answer 1

【答案】(1)①42，②5；(2)38；(3) 71或81或82或91或92或93.

【解析】

(1)①由“迥異數(shù)”的定義求解即可；

②根據(jù)定義計(jì)算可得；

(2)先將這個(gè)“迥異數(shù)”用k的代數(shù)式表示為：12k+2，再計(jì)算f(b)的值，最后利用等式f(b)=11即可求得b.

(3)設(shè)這個(gè)“迥異數(shù)”的十位和個(gè)位分別是m和n，將這個(gè)數(shù)c及f(c)分別用m和n的代數(shù)式表示，然后再通過(guò)給出的不等式求解即可.

解：(1)①由定義“個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)兩位數(shù)為迥異數(shù)”可知，40，42，44中，“迥異數(shù)”為42.

故答案為：42.

②f(23)=(23+32)÷11=5.

故答案為：5.

(2)∵這個(gè)“迥異數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個(gè)位數(shù)字是2(k+1)

∴b=10×k+2(k+1)=12k+2.

將這個(gè)數(shù)的個(gè)位和十位調(diào)換后為：10×2(k+1)+k=21k+20

∴f(b)=(12k+2+21k+20)÷11=3k+2

又f(b)=11

∴3k+2=11

∴k=3

故這個(gè)“迥異數(shù)”b=12k+2=38.

故答案為：38.

(3) 設(shè)這個(gè)“迥異數(shù)”c的個(gè)位為n，十位為m，則m≠n，且m,n均為大于1小于10的正整數(shù).

則c=10m+n，調(diào)換個(gè)位和十位后為：10n+m

故f(c)=(10m+n+10n+m)÷11=m+n

∵c5f（c）30

∴10m+n-5(m+n) 30

整理得：5m-4n>30

∴，即……①

又∵

∴，解得：

又n為正整數(shù)

故n=1或2或3

當(dāng)n=1時(shí)，代入①中，m=7或8或9，此時(shí)c=71或81或91；

當(dāng)n=2時(shí)，代入①中，m=8或9，此時(shí)c=82或92;

當(dāng)n=3時(shí)，代入①中，m=9，此時(shí)c=93.

故所有滿足條件的c有：71或81或82或91或92或93.