Question

13．如圖，在菱形ABCD中，AC與BD于點O，AE⊥CD，且AE=OD，若AO+OD+AD=3+$\sqrt{3}$，則菱形ABCD的面積是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由在菱形ABCD中，AE⊥CD，且AE=OD，易證得Rt△AOD≌Rt△DEA（HL），繼而證得△ACD是等邊三角形，則可求得∠ADO的度數(shù)，即可求得AO，OD，AD的關系，又由AO+OD+AD=3+$\sqrt{3}$，求得OA與OD的長，繼而求得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC，AC⊥BD，
∵AE⊥CD，
∴∠DOA=∠AED=90°，
在Rt△AOD和Rt△DEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DO=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOD≌Rt△DEA（HL），
∴∠DAO=∠ADE，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA=∠ADC，
∴△ADC是等邊三角形，
∴∠ADC=60°，
∴∠ADO=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°，
∴AD=2AO，OD=$\sqrt{3}$AO，
∵AO+OD+AD=3+$\sqrt{3}$，
∴AO+$\sqrt{3}$AO+2AO=3+$\sqrt{3}$，
∴AO=1，OD=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AO=2，BD=2OD=2$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面積是：$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ACD是等邊三角形是解此題的關鍵．