Question

11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，CM交BD于點(diǎn)N，若BM=1，則線段ON的長(zhǎng)為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 首先過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AC于H，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠MAH=45°，則△AMH為等腰直角三角形，再求出AH，MH，CH，然后證明△CON∽△CHM，再利用相似比可計(jì)算出ON的長(zhǎng)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AC于H，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH為等腰直角三角形，
∴AH=MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，CH=AC-AH=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴$\frac{ON}{MH}$=$\frac{OC}{CH}$，即$\frac{ON}{\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}}$，
∴ON=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．