Question

如圖，在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠C=120°，⊙C交AB于D、E兩點，且AD=DE．
（1）求⊙C的半徑；
（2）聯(lián)結(jié)CE，求tan∠ECB的值．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：（1）首先過點O作CH⊥DE、垂足為H，連結(jié)CD，進而利用銳角三角函數(shù)關系以及勾股定理得出AH的長，進而求出DH，AD的長，進而得出答案；
（2）利用銳角三角函數(shù)關系得出∠ECB=∠BCH-∠ECH=60°-30°=30°，進而得出答案．

解答：解：（1）過點O作CH⊥DE、垂足為H，連結(jié)CD，
∵AC=BC=6，CH⊥AB，
∴∠BCH=∠ACH=

1

2

∠ACB=

1

2

×120°=60°，
在Rt△ACH中，
∠AHC=90°，cos∠ACH=

CH

AC

，
則CH=AC•cos60°=6×

1

2

=3，
故AH=

AC2-CH2

=

36-9

=3

3

，
∵CH過圓心、CH⊥DE，
∴DH=

1

2

DE，
∵DE=AD，
∴EH=DH=

1

2

AD，
∴DH=

3

，AD=2

3

，
∴CD=

CH2+DH2

=

9+3

=2

3

；

（2）在Rt△CHE中、∠CHE=90°，
故tan∠ECH=

HE

CH

=

3

3

，
則∠ECH=30°，
∵∠BCH=60°，
∴∠ECB=∠BCH-∠ECH=60°-30°=30°，
∴tan∠ECB=tan30°=

3

3

．

點評：此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)關系和垂徑定理等知識，熟練應用銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵．