Question

如圖，點(diǎn)M（2，2），將一個(gè)90°的角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，角尺的兩邊分別交x軸、y軸正半軸于A、B，AP平分∠OAB，交OM于點(diǎn)P，PN⊥x軸于N，把角尺繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)：
（1）求證：OM平分∠AOB；
（2）求OA+OB的值；
（3）ON+

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2

AB的值是否會(huì)發(fā)生變化？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）做ME⊥x軸于E，MF⊥y軸于F，根據(jù)M的坐標(biāo)得出MF=ME，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；
（2）求出OA+OB=OF+OE，即可得出答案；
（3）過(guò)P作PQ⊥ME于Q，延長(zhǎng)PQ到R，使QR=PQ，連接MR，求出AB=PR，求出ON+

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AB=OE，即可得出答案．

解答：證明：（1）做ME⊥x軸于E，MF⊥y軸于F，
∵M(jìn)（2，2），∠FOE=∠MEO=∠MFO=90°，
∴OEMF是正方形，OE=2，OF=2，
∴MF=ME，
∵M(jìn)E⊥x軸于E，MF⊥y軸于F，
∴OM平分∠EOF，即OM平分∠AOB；

（2）∵∠AMF+∠AME=∠AME+∠BME=90°，
∴∠AMF=∠BME，
在△AME和△BMF中，

∠MEA=∠MFB ME=MF ∠EMA=∠BMF

，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴AE=BF，
∴OA+OB=OA+OF+BF=OA+OF+AE=OE+OF=4；                               

（3）解：ON+

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AB的值不會(huì)發(fā)生變化，
理由是：
過(guò)P作PQ⊥ME于Q，延長(zhǎng)PQ到R，使QR=PQ，連接MR，
∵△AEM≌△BFM，
∴MB=MA，
∵∠AMB=90°，
∴∠MBA=∠MAB=45°，
∵OM平分∠AOB，AP平分∠BAO，∠BOA=90°，
∴∠∠MOA=45°，∠BAP=∠PAO，
∴∠∠MOA+∠PAO=∠MAB+∠BAP，
即∠MAP=∠MPA，
∴MP=MA，
∵∠MOE=45°，ME=OE=2，
∴∠OME=45°，
∵PR⊥ME，PQ=QR，
∴MP=MR，
∴MB=MP=MA=MR，
∴∠RMQ=∠PMQ=45°，
∴∠PMR=90°=∠BMA，
在△BMA和△PMR中，

MB=MP ∠BMA=∠PMR MA=MR

，
∴△BMA≌△PMR（SAS），
∴AB=PR，
∴ON+

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2

AB=ON+

1

2

PR=ON+PQ=OE=2，
即ON+

1

2

AB的值不會(huì)發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，題目比較好，難度偏大．