Question

17．如圖，四邊形ABCD 內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線AE交CD的延長線于點(diǎn)E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE⊥CD；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）欲證明AE⊥CD，只要證明∠EAD+∠ADE=90°即可；
（2）過點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．從而證得四邊形AOFE是矩形，得出OF=AE，根據(jù)垂徑定理得出DF=$\frac{1}{2}$CD，在Rt△ODF中，根據(jù)勾股定理即可求得⊙O的半徑．

解答 （1）
證明：連接OA．
∵AE是⊙O切線，
∴OA⊥AE，
∴∠OAE=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，
∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥CD；
（2）解：過點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四邊形AOFE是矩形．
∴OF=AE=4cm． 
又∵OF⊥CD，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=3cm． 
在Rt△ODF中，OD=$\sqrt{O{F}^{2}+D{F}^{2}}$=5cm，
即⊙O的半徑為5cm．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．