Question

【題目】如圖,△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線 l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．

（1）在圖1中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，

BQ．猜想并寫出BQ 與AP 所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；

（3）AP，BQ ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ 與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圖形就可以猜想出結(jié)論．
（2）要證可以轉(zhuǎn)化為證明≌；要證明，可以證明只要證出即可證出．
（3）類比（2）的證明就可以得到，結(jié)論仍成立．

試題解析：（1）
（2）

證明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，

又∵AC⊥BC，

∴CQ=CP.

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴△BCQ≌△ACP(SAS)，

∴BQ=AP.

②如圖，延長(zhǎng)BQ交AP于點(diǎn)M.

∵△BCQ≌△ACP，

∴∠1=∠2.

∵在Rt△BCQ中, 又∠3=∠4，

∴BQ⊥AP；
(3)成立.

證明：①如圖,

又∵AC⊥BC，

∴CQ=CP.

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴△BCQ≌△ACP(SAS)，

∴BQ=AP.

②如圖，延長(zhǎng)QB交AP于點(diǎn)N，則∠PBN=∠CBQ.

∵△BCQ≌△ACP，

∴∠BQC=∠APC.

∵在Rt△BCQ中,

又∵∠CBQ=∠PBN，

∴QB⊥AP.