Question

如圖所示，是一個邊長為60cm的正方體ABCD-EFGH．
（1）求點A到點G的距離；
（2）若在棱EF上的點P處有一只甲蟲，PF=10cm，這只甲蟲要沿表面爬到點D處，求最短距離．

Answer 1

考點：平面展開-最短路徑問題

專題：

分析：（1）連接AG，AC，先根據(jù)勾股定理求出AC的長，同理可得出AG的長；
（2）要求正方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．

解答：解：（1）連接AG，AC，
∵∠ABC=90°，AB=BC=60cm，
∴AC=

602+602

=60

2

，
∴AG=

AC2+CG2

=

(60 2 )2+602

=60

3

（cm）．
答：點A到點G的距離為60

3

cm；

（2）：∵甲蟲爬行的路徑不能確定，
∴應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論：
（1）如圖2所示：DP=

DE2+EP2

=

1202+502

=130（cm）；
（2）如圖3所示：DP=

DH2+HP2

=

602+1102

=10

157

（cm）；
（3）如圖4所示：DP=

AD2+AP2

=

602+1102

=10

157

（cm）．

∵130＞′10

157

，
∴甲蟲爬行的最短距離是10

157

cm．
答：這只甲蟲要沿表面爬到點D處，爬行的最短距離為10

157

cm．

點評：本題考查的是平面展開-最短路徑問題，解答此類題目的關(guān)鍵是畫出立方體的平面展開圖，再利用勾股定理進(jìn)行解答．