Question

如圖，直線y=x+2與x軸交于點B，與雙曲線y=（m+5）x^2m+1交于點A、C，其中點A在第一象限，點C在第三象限．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）若三角形AOB的面積為1，求A點的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的定義得2m+1=-1，解方程得m=-1，于是得到反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

；
（2）根據(jù)x軸上點的坐標(biāo)特征得把y=0代入y=x+2得x=-2，于是得到B點坐標(biāo)為（-2，0）；根據(jù)三角形面積公式得A點坐標(biāo)為（4，1）．
（3）分三種情況討論即可求得；

解答： 解：（1）由題意得：
2m+1=-1
m=-1
所以雙曲線的解析式為：y=

4

x

；
（2）過點A作AD垂直x軸于D點
把y=0代入y=x+2得
x=-2
∴B點的坐標(biāo)為（-2，0）
∴OB=2
∵三角形AOB的面積為1
∴

1

2

OB×AD=1
∴AD=1，
把y=1代入y=

4

x

得
x=4
∴點A坐標(biāo)是（4，1）；
（3）存在；
∵點A坐標(biāo)是（4，1），
∴OA=

42+12

=

17

，
當(dāng)OP=OA時，P點的坐標(biāo)為（-

17

，0）或（

17

，0）；
當(dāng)AP=OA時，P點的坐標(biāo)為（8，0）；
當(dāng)AP=OP時，P點的坐標(biāo)為（

17

8

，0）；
綜上，P點的坐標(biāo)為（-

17

，0）或（

17

，0）或（8，0）或（

17

8

，0）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．