Question

【題目】如圖，在中，．

（1）尺規(guī)作圖：以為直徑作，分別交和于點(diǎn)和．(保留作圖痕跡，不寫(xiě)做法)

（2）過(guò)作，垂足為

①求證：為的切線．

②連接，若，，求的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析，②2．

【解析】

（1）根據(jù)題意，以為直徑作，分別交和于點(diǎn)和作圖即可．

（2）①作AB的中點(diǎn)O，連接OE、AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角定理可得，即可得，，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得出，即可得證為的切線．②過(guò)點(diǎn)O作，根據(jù)垂徑定理得到D為AF的中點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為r，表示出AF，AD以及HD，在直角三角形OAD中，表示出OD2，在直角三角形ODH中，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可．

（1）如圖所示，即為所求．

（2）①作AB的中點(diǎn)O，連接OE、AE

∵

∴

∵AB是的直徑

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

∵OA、OE是圓的半徑

∴

∴

∴

∴為的切線

②連接，過(guò)點(diǎn)O作

∵AB是圓O的直徑

∵EH是圓O的切線

∴

∵OA、OF為圓的半徑

∴

∵

∴

設(shè)圓的半徑為r，則

∴

∴

在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得

在Rt△ODH中，根據(jù)勾股定理得

即

解得（舍去）或

則圓的半徑為2．