Question

【題目】如圖，在矩形中，把點(diǎn)沿對(duì)折，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)，已知，．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如果一條不與拋物線對(duì)稱(chēng)軸平行的直線與該拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，我們把這條直線稱(chēng)為拋物線的切線，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且直線是該拋物線的切線，求拋物線的解析式；

（3）已知直線與（2）中的拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．求證：為定值．（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則，兩點(diǎn)之間的距離為）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠AOC=90°，然后由折疊的性質(zhì)可知AF=AD=10，根據(jù)勾股定理求出OF的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)F，設(shè)拋物線的解析式為，然后聯(lián)立直線，根據(jù)該直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，令△=0即可求出a的值，從而求出結(jié)論；

（3）聯(lián)立方程組，設(shè)，，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得則，，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式代入并化簡(jiǎn)即可．

解：（1）∵四邊形AOCD為矩形

∴∠AOC=90°

由折疊的性質(zhì)可知AF=AD=10，

在Rt△OAF中，OF=

∴．

（2）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為，聯(lián)立直線得：．

則由得．

故拋物線的方程為．

（3）由得．

所以設(shè)，，，如下圖所示

則，

而，．

從而，

即為定值4．