【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y= x2﹣ x﹣ 與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)E(4,n)在拋物線上.
(1)求直線AE的解析式;
(2)點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn),連接PC,PE.當(dāng)△PCE的面積最大時(shí),連接CD,CB,點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn),點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn),點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn),求KM+MN+NK的最小值;
(3)點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn),將拋物線y= x2﹣ x﹣ 沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經(jīng)過點(diǎn)D,y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F.在新拋物線y′的對(duì)稱軸上,是否存在一點(diǎn)Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)
解:∵y= x2﹣ x﹣ ,
∴y= (x+1)(x﹣3).
∴A(﹣1,0),B(3,0).
當(dāng)x=4時(shí),y= .
∴E(4, ).
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得: ,
解得:k= ,b= .
∴直線AE的解析式為y= x+ .
(2)
解:設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣ ,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得:4m﹣ = ,解得:m= .
∴直線CE的解析式為y= x﹣ .
過點(diǎn)P作PF∥y軸,交CE與點(diǎn)F.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x2﹣ x﹣ ),則點(diǎn)F(x, x﹣ ),
則FP=( x﹣ )﹣( x2﹣ x﹣ )= x2+ x.
∴△EPC的面積= ×( x2+ x)×4=﹣ x2+ x.
∴當(dāng)x=2時(shí),△EPC的面積最大.
∴P(2,﹣ ).
如圖2所示:作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對(duì)稱點(diǎn)G、H,連接G、H交CD和CP與N、M.
∵K是CB的中點(diǎn),
∴k( ,﹣ ).
∵點(diǎn)H與點(diǎn)K關(guān)于CP對(duì)稱,
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為( ,﹣ ).
∵點(diǎn)G與點(diǎn)K關(guān)于CD對(duì)稱,
∴點(diǎn)G(0,0).
∴KM+MN+NK=MH+MN+GN.
當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在條直線上時(shí),KM+MN+NK有最小值,最小值=GH.
∴GH= =3.
∴KM+MN+NK的最小值為3.
(3)
解:如圖3所示:
∵y′經(jīng)過點(diǎn)D,y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F,
∴點(diǎn)F(3,﹣ ).
∵點(diǎn)G為CE的中點(diǎn),
∴G(2, ).
∴FG= = .
∴當(dāng)FG=FQ時(shí),點(diǎn)Q(3, ),Q′(3, ).
當(dāng)GF=GQ時(shí),點(diǎn)F與點(diǎn)Q″關(guān)于y= 對(duì)稱,
∴點(diǎn)Q″(3,2 ).
當(dāng)QG=QF時(shí),設(shè)點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為(3,a).
由兩點(diǎn)間的距離公式可知:a+ = ,解得:a=﹣ .
∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為(3,﹣ ).
綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3, )或′(3, )或(3,2 )或(3,﹣ ).
【解析】(1)拋物線的解析式可變形為y= (x+1)(x﹣3),從而可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),然后再求得點(diǎn)E的坐標(biāo),設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入求得k和b的值,從而得到AE的解析式;(2)設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣ ,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入求得m的值,從而得到直線CE的解析式,過點(diǎn)P作PF∥y軸,交CE與點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x2﹣ x﹣ ),則點(diǎn)F(x, x﹣ ),則FP= x2+ x.由三角形的面積公式得到△EPC的面積=﹣ x2+ x,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得x的值,從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo),作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對(duì)稱點(diǎn)G、H,連接G、H交CD和CP與N、M.然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得到點(diǎn)G和點(diǎn)H的坐標(biāo),當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在條直線上時(shí),KM+MN+NK有最小值,最小值=GH;(3)由平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D,可得到點(diǎn)F的坐標(biāo),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)G的坐標(biāo),然后分為QG=FG、QG=QF,F(xiàn)Q=FQ三種情況求解即可.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F.
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)∠ABE為多少度時(shí),四邊形BEDF是菱形?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校“陽(yáng)光足球俱樂部”計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種型號(hào)的足球,乙型足球每個(gè)進(jìn)價(jià)比甲型足球每個(gè)進(jìn)價(jià)多10元,若購(gòu)進(jìn)甲型足球3個(gè)和乙型足球5個(gè),共需要資金370元.
(1)求甲、乙兩種型號(hào)的足球進(jìn)價(jià)各是多少元?
(2)該商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的足球共50個(gè),而可用于購(gòu)買這兩種型號(hào)的足球資金不少于2250元,但又不超過2270元.該商店有幾種進(jìn)貨方案?
(3)已知商店出售一個(gè)甲種足球可獲利6元,出售一個(gè)乙種足球可獲利10元,試問在(2)的條件下,商店采用哪種方案可獲利最多?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)新建了一棟7層的教學(xué)大樓,每層樓有8間教室,進(jìn)出這棟大樓共有八道門,其中四道正門大小相同,四道側(cè)門大小也相同.安全檢查中,對(duì)八道門進(jìn)行了測(cè)試:當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和兩道側(cè)門時(shí),2分內(nèi)可以通過560名學(xué)生;當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和一道側(cè)門時(shí),4分內(nèi)可以通過800名學(xué)生.
(1)平均每分內(nèi)一道正門和一道側(cè)門分別可以通過多少名學(xué)生?
(2)檢查中發(fā)現(xiàn),緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠,出門的效率將降低30%.安全檢查規(guī)定:在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分內(nèi)通過這八道門安全撤離,假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生,問建造的這八道門是否符合安全規(guī)定?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,邊AB的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AF,BE.
(1)求證:△AGE≌△BGF;
(2)試判斷四邊形AFBE的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料I:
教材中我們學(xué)習(xí)了:若關(guān)于的一元二次方程的兩根為,根據(jù)這一性質(zhì),我們可以求出己知方程關(guān)于的代數(shù)式的值.
問題解決:
(1)已知為方程的兩根,則: __ _,__ _,那么_ (請(qǐng)你完成以上的填空)
閱讀材料:II
已知,且.求的值.
解:由可知
又且,即
是方程的兩根.
問題解決:
(2)若且則 ;
(3)已知且.求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形的頂點(diǎn)A,C分別在y軸和x軸上,邊BC的中點(diǎn)F在y軸上,若反比例函數(shù)y=的圖象恰好經(jīng)過CD的中點(diǎn)E,則OA的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P為拋物線上,且位于x軸下方.
(1)如圖1,若P(1,﹣3),B(4,0).
①求該拋物線的解析式;
②若D是拋物線上一點(diǎn),滿足∠DPO=∠POB,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖2,已知直線PA,PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí), 是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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