【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E為CD上一點,將△BCE沿BE翻折后點C恰好落在AD邊上的點F處,將線段EF繞點F旋轉(zhuǎn),使點E落在BE上的點G處,連接CG.
(1)證明:四邊形CEFG是菱形;
(2)若AB=8,BC=10,求四邊形CEFG的面積;
(3)試探究當(dāng)線段AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時,BG=CG,請寫出你的探究過程.
【答案】(1)見解析;(2)20;(3)
【解析】試題分析:(1)由折疊得到EF=CE,∠FEG=∠CEG,再加上公共邊GE,利用SAS可得出△EFG≌△ECG,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出GF=CG,再由FG是線段EF旋轉(zhuǎn)得到的,故FG=EF,等量代換可得出四邊形EFGC四條邊相等,進(jìn)而確定出此四邊形為菱形;(2)連接FC,與GE交于點O,由折疊得到BF=BC=10,連接FC,交GE于O點,在Rt△ABF中,根據(jù)勾股定理求得AF =6,即可得FD=4,設(shè)EC=x,則DE=8-x,EF=x,在Rt△FDE中利用勾股定理列出方程42+(8-x)2=x2,解方程得EC=5;在Rt△FDC中根據(jù)勾股定理求得FC=4 ;在菱形FGCE中FO=FC=2,EO=GE,GE⊥FC,在在Rt△FOE中求得EO=,即可得GE=2EO=2,從而根據(jù)菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半即可求得菱形的面積;(3)當(dāng)線段AB與BC滿足時,BG=CG,理由為:在Rt△ABF中,利用特殊角的三角函數(shù)值及銳角三角函數(shù)定義求出∠ABF的度數(shù),進(jìn)而確定出∠FBC的度數(shù),再由折疊得到∠FBE=∠EBC,求出∠EBC為30°,可得出∠BEC為60°,再由GC=CE得到△CGE為等邊三角形,再由30°所對的直角邊EC等于斜邊BE的一半,得到GE為BE的一半,即G為BE的中點,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到CG與BG相等都為BE的一半.
試題解析:
(1)根據(jù)翻折的方法可得:EF=EC,∠FEG=∠CEG,
在△EFG和△ECG中,
∵ ,
∴△EFG≌△ECG(SAS),
∴FG=GC,
∵線段FG是由EF繞F旋轉(zhuǎn)得到的,
∴EF=FG,
∴EF=EC=FG=GC,
∴四邊形FGCE是菱形;
(2)連接FC,交GE于O點,
根據(jù)折疊可得:BF=BC=10,
∵AB=8,
在Rt△ABF中,
根據(jù)勾股定理得:AF= =6,
∴FD=AD-AF=10-6=4,
設(shè)EC=x,則DE=8-x,EF=x,
在Rt△FDE中:FD2+DE2=EF2,即42+(8-x)2=x2,
解得:x=5,
在Rt△FDC中:FD2+DC2=CF2,
則:42+82=FC2,
解得:FC=4 ,
∵四邊形FGCE是菱形,
∴FO=FC=2,EO=GE,GE⊥FC,
在Rt△FOE中:FO2+OE2=EF2,即(2)2+EO2=52,
解得:EO=,
∴GE=2EO=2,
則S菱形CEFG=×FC×GE=×4×2=20;
(3)當(dāng)時,BG=CG,理由為:
由折疊可得:BF=BC,∠FBE=∠CBE,
∵在Rt△ABF中, ,
∴cos∠ABF= ,即∠ABF=30°,
又∵∠ABC=90°,
∴∠FBC=60°,EC=BE,
∴∠FBE=∠CBE=30°,
∵∠BCE=90°,
∴∠BEC=60°,
又∵GC=CE,
∴△GCE為等邊三角形,
∴GE=CG=CE=BE,
∴G為BE的中點,
則CG=BG=BE.
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【題目】如圖,直線AB、CD相交于點O,已知∠AOC=75°,∠BOE :∠DOE=2:3.
(1)求∠BOE的度數(shù);
(2)若OF平分∠AOE,∠AOC與∠AOF相等嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個不透明箱子中有2個紅球,1個黑球和1個白球,四個小球的形狀、大小完全相同.
(1)從中隨機(jī)摸取1個球,則摸到黑球的概率為 ;
(2)小明和小貝做摸球游戲,游戲規(guī)則如下.
你認(rèn)為這個游戲公平嗎?請說明理由.
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【題目】現(xiàn)在正是草莓熱銷的季節(jié),某水果零售商店分兩批次從批發(fā)市場共購進(jìn)草莓40箱,已知第一、二次進(jìn)貨價分別為每箱50元、40元,且第二次比第一次多付款700元.
(1)設(shè)第一、二次購進(jìn)草莓的箱數(shù)分別為a箱、b箱,求a,b的值;
(2)若商店對這40箱草莓先按每箱60元銷售了x箱,其余的按每箱35元全部售完.
①求商店銷售完全部草莓所獲利潤y(元)與x(箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)x的值至少為多少時,商店才不會虧本.(注:按整箱出售,利潤=銷售總收入-進(jìn)貨總成本)
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【題目】在精準(zhǔn)扶貧政策的扶持下,貧困戶老李今年試種的百香果獲得大豐收,共收獲2 000千克.扶貧小組幫助他將百香果按照品質(zhì)從高到低分成A,B,C,D,E五個等級,并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如下的扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布表:
請根據(jù)圖表信息解答下列問題:
(1)__________;__________;__________;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中“E”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)為了幫助貧困戶老李銷售百香果,扶貧小組聯(lián)系了甲、乙兩位經(jīng)銷商.他們分別給出如下收購方案:
甲:全部按5元/千克收購;
乙:按等級收購:C等級單價為6.5元/千克,每提高一個等級單價提高1元/千克,剩下的D,E兩個等級單價均為2元/千克.
請你通過計算,判斷哪個經(jīng)銷商的方案使老李盈利更多.
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【題目】“分組合作學(xué)習(xí)”已成為推動課堂教學(xué)改革,打造自主高效課堂的重要措施.某中學(xué)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生對“分組合作學(xué)習(xí)”實施后的學(xué)習(xí)興趣情況進(jìn)行調(diào)查分析,統(tǒng)計圖如下:
請結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)求出隨機(jī)抽取調(diào)查的學(xué)生人數(shù);
(2)補(bǔ)全分組后學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的條形統(tǒng)計圖;
(3)分組后學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為“中”的所占的百分比和對應(yīng)扇形的圓心角.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一輛貨車從百貨大樓出發(fā)負(fù)責(zé)送貨,向東走了4千米到達(dá)小明家,繼續(xù)向東走了1.5千米到達(dá)小紅家,然后向西走了8.5千米到達(dá)小剛家,最后返回百貨大樓.
(1)以百貨大樓為原點,向東為正方向,1個單位長度表示1千米,請你在數(shù)軸上標(biāo)出小明、小紅、小剛家的位置.(小明家用點表示,小紅家用點表示,小剛家用點表示)
(2)小明家與小剛家相距多遠(yuǎn)?
(3)若貨車每千米耗油1.5升,那么這輛貨車此次送貨共耗油多少升?
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【題目】如圖①,在ABCD中,AB=10cm,BC=4cm,∠BCD=120°,CE平分∠BCD交AB于點E.點P從A點出發(fā),沿AB方向以1cm/s的速度運動,連接CP,將△PCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,使CE與CB重合,得到△QCB,連接PQ.
(1)求證:△PCQ是等邊三角形;
(2)如圖②,當(dāng)點P在線段EB上運動時,△PBQ的周長是否存在最小值?若存在,求
出△PBQ周長的最小值;若不存在,請說明理由;
(3)如圖③,當(dāng)點P在射線AM上運動時,是否存在以點P、B、Q為頂點的直角三角形?
若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
(1) (2)
(3)
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,A, B是直線l上的兩點,點B關(guān)于AD的對稱點為M,連接交AD于F點.
(1)若,如圖,
①依題意補(bǔ)全圖形;
②判斷MF與FC的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)如圖,當(dāng)時,,CD的延長線相交于點E,取E的中點H,連結(jié)HF. 用等式表示線段CE與AF的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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