Question

已知直線y=x+b交x軸交于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，交雙曲線y=

k

x

(k＞0，x＞0)于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D．
（1）若b=-2，且四邊形OBDC是平行四邊形，請(qǐng)根據(jù)題意畫出示意圖，并k的值；
（2）若OC=

2

OB，且BC•AC=4，求b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，然后代入直線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入雙曲線解析式計(jì)算即可求出k值；
（2）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為c，根據(jù)直線解析式表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理列式求出BC²、AC²，然后根據(jù)BC•AC=4整理出關(guān)于b、c的一個(gè)關(guān)系式，再在Rt△OCD中，利用勾股定理列式得到關(guān)于b、c的方程，然后用b表示出c，再把c代入b、c的關(guān)系式求解即可．

解答：解：（1）易求A（-b，0），B（0，b），
∵b=-2，
∴A（2，0），B（0，-2），
∵四邊形OBDC是平行四邊，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，
代入直線y=x-2得，x-2=2，
解得x=4，
∴點(diǎn)C（4，2），
代入雙曲線得，

k

4

=2，
解得k=8，
示意圖如圖所示；

（2）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為c，
∵點(diǎn)C在直線y=x+b上，
∴C（c，c+b），
由勾股定理得，BC²=c²+（c+b-b）²=2c²，
AC²=（c+b）²+（c+b-0）²=2（c+b）²，
∵BC•AC=4，
∴BC²•AC²=16，
即2c²•2（c+b）²=16，
∴c（c+b）=2=k，
在Rt△OCD中，OD²+CD²=OC²，
∵OC=

2

OB，
∴c²+（c+b）²=（

2

b）²，
整理得，2c²+2bc-b²=0，
解得c=

3 -1

2

b或c=

- 3 -1

2

b，
①b＞0時(shí)，c=

3 -1

2

b，
所以，c（c+b）=

3 -1

2

b•（

3 -1

2

b+b）=2，
整理得，b²=4，
解得b=2，b=-2（舍去），
②b＜0時(shí)，c=

- 3 -1

2

b，
所以，c（c+b）=

- 3 -1

2

b•（

- 3 -1

2

b+b）=2，
整理得，b²=4，
解得b=2（舍去），b=-2，
綜上所述，b的值是±2．

點(diǎn)評(píng)：本題是反比例函數(shù)綜合題型，主要利用了平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)，雙曲線圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，解一元二次方程，難點(diǎn)在于（2）把已知條件轉(zhuǎn)化為含有點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，以及根據(jù)勾股定理列出關(guān)于點(diǎn)C的橫坐標(biāo)與b的方程，要注意根據(jù)b的正負(fù)情況分情況討論．