Question

20．已知點M（0，1），點N是拋物線y=x²-1上的一動點，設(shè)MN²=d，則d的最小值為$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 求出拋物線與x軸的交點坐標，由勾股定理求出MB=$\sqrt{2}$；設(shè)N（x，x²-1），作NA⊥y軸于A，則OA=x²-1，AN=x，∴MA=OM-OA=2-x²，由勾股定理和二次函數(shù)的最值得出d的最小值=$\frac{7}{4}$＜2，得出當N是拋物線與x軸的交點時，d有最小值為$\frac{7}{4}$即可．

解答 解：拋物線y=x²-1，
當y=0時，x=±1，
∴拋物線與x軸的交點坐標為：B（1，0），C（-1，0），
∵M（0，1），
∴OM=1，
∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
設(shè)N（x，x²-1），
作NA⊥y軸于A，如圖所示：
則OA=x²-1，AN=x，
∴MA=OM-OA=2-x²，
由勾股定理得：d=MN²=MA²+AN²=（2-x²）²+x²=x⁴-3x²+4=（x²-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
當x²=$\frac{3}{2}$時，d的最小值=$\frac{7}{4}$＜2，
∵點N是拋物線y=x²-1上的一動點，
∴當N是拋物線與x軸的交點時，d有最小值為$\frac{7}{4}$；
故答案為：$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的最值、勾股定理等知識；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征是解決問題的關(guān)鍵．