Question

在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)O是△ABC的外心，連接AO并延長(zhǎng)交BC于D，交△ABC的外接圓于E，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交AO的延長(zhǎng)線于Q，設(shè)OQ=

9

2

，BQ=3

2

．
（1）求⊙O的半徑；
（2）若DE=

3

5

，求四邊形ACEB的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OB，根據(jù)BQ是圓的切線，則△OBQ是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求得半徑OB的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)AB=BC，O是△ABC的外心，可以得到：BC⊥AC，且AE是直徑，BE=CE．易證△BOD∽△CED，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得CE的長(zhǎng)，在Rt△ACE中根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，在Rt△ABE中求得BE的長(zhǎng)，據(jù)此即可求得四邊形的周長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接OB．
∵BQ與⊙O相切，
∴∠OBQ=90°
∴OB=

OQ2-BQ2

=

( 9 2 )2-(3 2 )2

=

3

2

．
故半徑是：

3

2

；

（2）連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，
∵AB=BC則

AB

=

BC

，
∴BF⊥AC，
又∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ACE=∠ABE=90°，
∴BF∥CE，
∴△BOD∽△CED，
∴

BO

CE

=

OD

DE

，
∴CE=

DE•BO

OD

=

3 5 × 3 2

3 2 - 3 5

=1，
∴在Rt△ACE中，AE=3，CE=1，則AC=2

2

，
又O是AE的中點(diǎn)，∴OF=

1

2

CE=

1

2

，
則BF=2．
∴在Rt△ABE中，BE=

3

，
∴四邊形ACEB的周長(zhǎng)是：1+2

2

+

6

+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)定理，以及勾股定理，并多次運(yùn)用了勾股定理，其中根據(jù)AB=AC和O是△ABC的內(nèi)心，得到BF⊥AC，且AE是直徑，是解決本題的關(guān)鍵．