Question

【題目】已知如圖，拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A（3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)沿拋物線向A點(diǎn)運(yùn)動（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線AC于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中線段PD長度的最大值；
（3）△APD能否構(gòu)成直角三角形？若能請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不能請說明理由；
（4）在拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)M使|MA﹣MC|最大？若存在請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A（3，0），B（1，0），

∴ ，

解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3

（2）

解：令x=0，則y=3，

∴點(diǎn)C（0，3），

則直線AC的解析式為y=﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣4x+3），

∵PD∥y軸，

∴點(diǎn)D（x，﹣x+3），

∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∵a=﹣1＜0，

∴當(dāng)x= 時，線段PD的長度有最大值

（3）

解：如圖

①∠APD是直角時，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

此時，點(diǎn)P（1，0），

②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），

∵A（3，0），

∴點(diǎn)P為在拋物線頂點(diǎn)時，∠PAD=45°+45°=90°，

此時，點(diǎn)P（2，﹣1），

綜上所述，點(diǎn)P（1，0）或（2，﹣1）時，△APD能構(gòu)成直角三角形

（4）

解：由拋物線的對稱性，對稱軸垂直平分AB，

∴MA=MB，

由三角形的三邊關(guān)系，|MA﹣MC|＜BC，

∴當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時，|MA﹣MC|最大，為BC的長度，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

則 ，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣3x+3，

∵拋物線y=x2﹣4x+3的對稱軸為直線x=2，

∴當(dāng)x=2時，y=﹣3×2+3=﹣3，

∴點(diǎn)M（2，﹣3），

即，拋物線對稱軸上存在點(diǎn)M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大

【解析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PD的長度，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；（3）①∠APD是直角時，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，②求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷出點(diǎn)P為在拋物線頂點(diǎn)時，∠PAD是直角，分別寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（4）根據(jù)拋物線的對稱性可知MA=MB，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點(diǎn)M為直線CB與對稱軸交點(diǎn)時，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求解即可．