Question

如圖，四邊形ABCD內接于圓，AD，BC的延長線交于點E，F(xiàn)是BD延長線上任意一點，若AB=AC．
（1）求證：DE平分∠CDF．
（2）求證：AB²=AD•AE．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）根據等腰三角形的性質以及圓內接四邊形的性質和圓周角定理得出∠FDE=∠EDC，進而得出答案；
（2）利用相似三角形的判定與性質得出△ADC∽△ACE，則

AD

AC

=

AC

AE

，進而得出答案．

解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵四邊形ABCD內接于圓，
∴∠EDC=∠ABC，
∵∠ADB=∠ACB，∠ADB=∠FDE，
∴∠FDE=∠ACB=∠ABC，
∴∠FDE=∠EDC，
即DE平分∠CDF；

（2）∵∠EDC+∠ADC=180°，∠ECA+∠ACB=180°，∠ACB=∠EDC，
∴∠ADC=∠ACE，
又∵∠BAC=∠CAD，
∴△ADC∽△ACE，
∴

AD

AC

=

AC

AE

，
∴AC²=AD×AE，
∵AB=AC，
∴AB²=AD•AE．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及圓周角定理和圓內接四邊形的性質等知識，得出∠FDE=∠ACB=∠ABC是解題關鍵．