Question

【題目】已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點是線段的中點，連接并延長交線段于點．

（1）求證：四邊形為平行四邊形；

（2）連接，交于點．

①若，求的長；

②作，垂足為，求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②證明見解析．

【解析】

（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的判定可得，，最后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；

（2）①先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)（1）已求，從而可得，然后根據(jù)線段的和差即可得；

②先根據(jù)平行線的判定可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，，從而可得，由此即可得證．

（1）∵是等邊三角形

∴，

在中，

∴

∵點是線段的中點

∴

∴是等邊三角形

∴，

∴

∴

∴

∴四邊形為平行四邊形；

（2）①如圖，連接，交于點

∵

∴

∴

∵，

∴

∵

∴；

②如圖，作，垂足為

∵，，

∴

∴，

∴，

∴

∴．