Question

【題目】問題背景：（1）如圖，已知中，，直線經(jīng)過點(diǎn)直線，直線，垂足分別為點(diǎn)．求證：．

證明：

拓展延伸：（2）如圖，將（1）中的條件改為：在中，三點(diǎn)都在直線上，并且有．請寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）

實際應(yīng)用：（3）如圖，在中，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）B（1，4）.

【解析】

（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）利用∠BDA=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，進(jìn)而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．（3）過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E，構(gòu)造（1）中的模型，進(jìn)而利用（1）的結(jié)論即可求解.

(1) 證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，

∴∠BDA＝∠CEA＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD＋∠CAE＝90°，

∵∠BAD＋∠ABD＝90°，

∴∠CAE＝∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∵，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE；

(2) DE＝BD＋CE.理由如下：

∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC，

∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE，

∴∠CAE＝∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∵，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE；

（3）如圖，過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E，

由（1）可知，AD=CE，CD=BE，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴AD=3，CD=4，

∴OE=1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4）.