【題目】如圖,在正方形中,點是正方形內(nèi)兩點,,,為探索這個圖形的特殊性質(zhì),某數(shù)學興趣小組經(jīng)歷了如下過程:

1)在圖1中,連接,且

①求證:互相平分;

②求證:

2)在圖2中,當,其它條件不變時,是否成立?若成立,請證明:若不成立,請說明理由.

3)在圖3中,當,,時,求之長.

【答案】(1)①詳見解析;②詳見解析;(2)BEDF時,(BE+DF2+EF22AB2仍然成立,理由詳見解析;(3

【解析】

1)①連接ED、BF,證明四邊形BEDF是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明;②根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理證明;

2)過DDMBEBE的延長線于M,連接BD,證明四邊形EFDM是矩形,得到EM=DF,DM=EF,∠BMD=90°,根據(jù)勾股定理計算;

3)過PPEPD,過BBELPEE,根據(jù)(2)的結(jié)論求出PE,結(jié)合圖形解答.

1)證明:連接ED、BF

BEDF,BEDF,

∴四邊形BEDF是平行四邊形,

BD、EF互相平分;

設(shè)BDEF于點O,則OBODBD,OEOFEF

EFBE,

∴∠BEF90°.

RtBEO中,BE2+OE2OB2

∴(BE+DF2+EF2=(2BE2+2OE24BE2+OE2)=4OB2=(2OB2BD2

在正方形ABCD中,ABAD,BD2AB2+AD22AB2

∴(BE+DF2+EF22AB2;

2)解:當BEDF時,(BE+DF2+EF22AB2仍然成立,

理由如下:如圖2,過DDMBEBE的延長線于M,連接BD

BEDFEFBE,

EFDF

∴四邊形EFDM是矩形,

EMDFDMEF,∠BMD90°,

RtBDM中,BM2+DM2BD2,

∴(BE+EM2+DM2BD2

即(BE+DF2+EF22AB2;

3)解:過PPEPD,過BBEPEE,

則由上述結(jié)論知,(BE+PD2+PE22AB2

∵∠DPB135°,

∴∠BPE45°,

∴∠PBE45°,

BEPE

∴△PBE是等腰直角三角形,

BPBE,

BP+2PD4

2BE+2PD4,即BE+PD2

AB4,

∴(22+PE22×42,

解得,PE2,

BE2

PD22

練習冊系列答案
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