【題目】已知直線y=﹣x+6,交x軸、y軸于A、B兩點,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過A點,且與直線y=﹣x+6交于另一點P.
(1)若P與B點重合,求拋物線的解析式;
(2)若P在第一象限,過PE⊥x軸于E點,PF⊥y軸于F點,當(dāng)四邊形PEOF面積為5,求拋物線的解析式;
(3)若△OAP為等腰三角形,求m的值.

【答案】
(1)

解:令x=0,則y=6;

令y=0,則﹣x+6=0,解得:x=6.

故A點坐標為(6,0),B點坐標為(0,6).

∵P與B點重合,

∴有 ,解得:

故當(dāng)P與B點重合,拋物線的解析式為y=x2﹣7x+6


(2)

解:結(jié)合題意畫出圖形,如圖1所示.

∵點P在線段AB上,

∴設(shè)P點坐標為(a,﹣a+6)(0<m<6),則有PE=6﹣a,PF=a.

四邊形PEOF面積=PEPF=(6﹣a)×a=5,

解得:a=1,或a=5,

即點P的坐標為(1,5)或(5,1).

當(dāng)點P坐標為(1,5)時,有 ,

解得: ,

此時拋物線的解析式為y=x2﹣8x+12;

當(dāng)點P坐標為(5,1)時,有 ,

解得:

此時拋物線的解析式為y=x2﹣12x+36.

綜上可知,拋物線的解析式為y=x2﹣8x+12或者y=x2﹣12x+36


(3)

解:設(shè)點P的坐標為(b,6﹣b).

∵點O(0,0),點A(6,0),

∴OP= ,OA=6﹣0=6,PA=

∵△OAP為等腰三角形,

∴分三種情況考慮.

①當(dāng)OP=OA時,有 =6,

解得:b=0,或b=6(舍去),

此時P點的坐標為(0,6).

同(1)一樣,故m=﹣7;

②當(dāng)OP=PA,即 = ,

解得:b=3,

此時P點的坐標為(3,3).

將P(3,3),A(6,0)代入拋物線解析式,得:

,解得m=﹣10;

③當(dāng)OA=PA時,有6= ,

解得:b=6±3

此時P點的坐標為(6+3 ,﹣3 )或(6﹣3 ,3 ).

將P(6+3 ,﹣3 ),A(6,0)代入拋物線解析式,得:

,解得m=﹣3 ﹣13;

將P(6﹣3 ,3 ),A(6,0)代入拋物線解析式,得:

,解得m=3 ﹣13.

綜上可知:當(dāng)△OAP為等腰三角形,m的值為﹣7,﹣10,﹣3 ﹣13和3 ﹣13


【解析】(1)分別令x、y=0,可求出B、A點的坐標,再利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;(2)由四邊形PEOF面積為5可得出P點的坐標,結(jié)合A點的坐標利用待定系數(shù)法即可求得結(jié)論;(3)設(shè)出P點坐標,由兩點間的距離公式表示出△OAP的三條邊,再分類討論相鄰兩邊相等得出結(jié)論.

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