Question

5．如圖，四邊形ABCD、CEFG都是正方形，點(diǎn)G在線段CD上，連接BG、DE，DE和FG相交于點(diǎn)O．設(shè)AB=a，CG=b（a＞b）．下列4個(gè)結(jié)論：
①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$；④$\frac{{S}_{△DGO}}{{S}_{△EOF}}=\frac{（a-b）^{2}}{^{2}}$；其中結(jié)論正確的是①②④（填正確的序號(hào)）．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，則可根據(jù)SAS證得①△BCG≌△DCE；然后延長BG交DE于點(diǎn)H，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，則可得②BH⊥DE；由△DGO與△DCE相似即可判定③錯(cuò)誤，證明△EFO∽△DGO，即可求得④正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，CD∥EF，
∴∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCG=∠DCE}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
故①正確；
②延長BG交DE于點(diǎn)H，如圖所示：
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；
∴BG⊥DE．
故②正確；
③∵四邊形GCEF是正方形，
∴GF∥CE，
∴$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，
∴$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$錯(cuò)誤，③錯(cuò)誤；
④∵DC∥EF，
∴△DGO∽△EOF，
∴$\frac{{S}_{△DGO}}{{S}_{△EOF}}$=（$\frac{a-b}$）²=$\frac{（a-b）^{2}}{^{2}}$，
∴$\frac{{S}_{△EOF}}{{S}_{△DGO}}$=（$\frac{EF}{DG}$）²=（$\frac{a-b}$）²=$\frac{^{2}}{（a-b）^{2}}$，④正確；
正確的有①②④；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，掌握三角形全等、相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．