Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AC的解析式為y=﹣x+1，直線AC交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)A．

（1）若等邊△OBD的頂點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，另一頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)B作x軸的垂線l，在l上是否存在一點(diǎn)P，使得△AOP的周長最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）試在直線AC上求出到兩坐標(biāo)軸距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B（2，2）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）；（3）在直線AC上求出到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（﹣，）．

【解析】分析：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AC的解析式為y=﹣x+1，直線AC交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)A．

（1）若等邊△OBD的頂點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，另一頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)B作x軸的垂線l，在l上是否存在一點(diǎn)P，使得△AOP的周長最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）試在直線AC上求出到兩坐標(biāo)軸距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．

詳解：（1）在y=﹣x+1中，令y=0可求得x=4，

∴D（4，0），

過B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖1，

∵△OBD為等邊三角形，

∴OE=OD=2，BE=OB=2，

∴B（2，2）；

（2）∵等邊△OBD是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為l，

∴點(diǎn)O與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴直線AC與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，

把x=2代入y=﹣x+1，得y=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）；

（3）設(shè)滿足條件的點(diǎn)為Q，其坐標(biāo)為（m，﹣m+1），

由題意可得﹣m+1=m或﹣m+1=﹣m，

解得m=或m=﹣，

∴在直線AC上求出到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（﹣，）．