Question

如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則cos∠CPB的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：網(wǎng)格型

分析：如圖，連接AE，交CD于點(diǎn)F，可先證得△APC∽△BPD，可得到CP：DP=1：3，且可得CF=DF=AF，可知FP：DF=1：2，在Rt△AFP中可求得cos∠APF，且∠CPB=∠APF，可得出答案．

解答：解：如圖，連接AE，交CD于點(diǎn)F，
∵AC∥BD，且BD=3AC，
∴

CP

DP

=

AC

BD

=

1

3

，
又∵四邊形ACED為正方形，
∴AE⊥CD，DF=CF，
∴

PF

DF

=

1

2

，
∴

PF

AF

=

1

2

，
在Rt△APF中，設(shè)PF=x，則AF=2x，由勾股定理可求得AP=

5

x，
∴

PF

AP

=

x

5 x

=

5

5

，
∴cos∠APF=

5

5

，
又∵∠CPB=∠APF，
∴cos∠CPB=

5

5

．
故答案為：

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．