Question

9．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB=AC，AD∥BC交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：AD為⊙O的切線；
（2）若AB∥DC，AD=3，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）欲證明AD為⊙O的切線，只要證明∠DAO=90°，根據(jù)垂徑定理可以證明OA⊥BC，因?yàn)锳D∥BC，所以不難證明∠DAO=90°．
（2）先證明△AOC是等邊三角形，根據(jù)陰影部分的面積=S_△ADO-S_扇形AOC進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OEC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切線．
（2）解：∵AB∥DC，
∴∠ABC=∠BCO，
∵AB=AC，
∴∠ACE=∠ABC=∠OCE，
∵∠CAE+∠ACE=90°，∠COA+∠OCE=90°，
∴∠CAO=∠COA，
∴CA=OC=AO，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AO=OC=AD=2，∠AOC=60°，
在RT△AOD中，∵OA=2，∠D=30°，
∴AD=$\sqrt{3}$AO=2$\sqrt{3}$
∴陰影部分的面積=S_△ADO-S_扇形AOC=$\frac{1}{2}$•AD•OA-$\frac{60π•{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、扇形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定方法，學(xué)會(huì)利用分割法求面積，所以中考�？碱}型．