Question

2．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠A=90°，M、N分別是EB、CD的中點(diǎn)．

（1）求證：BE=CD，△AMN是等腰直角三角形；
（2）若把△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，試探究BE與CD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給予證明；
（3）當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，請判斷△AMN的形狀，直接寫出結(jié)論，不必證明．

Answer 1

分析 （1）利用等式的性質(zhì)直接得到，BE=CD，用中點(diǎn)和BE=CD，先判斷出AM=AN即可；
（2）由全等三角形得到∠MAB=∠NAC，再由直角三角形兩銳角互余，判斷出BE⊥CD；
（2）由（2）的結(jié)論BE=CD，∠MAB=∠CAN，再判斷出∠MAN=90°，即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD=AE．
∴AC-AD=AB-AE，
∴BE=CD；
∵M(jìn)、N分別是EB、CD的中點(diǎn)，
∴DN=$\frac{1}{2}$CD，EM=$\frac{1}{2}$BE，
∴AN=AM，
∵∠BAC=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形；
（2）如圖，延長BE，CD交于點(diǎn)G，

由旋轉(zhuǎn)得，∠BAM=∠CAD，
∵AE=AD，AB=AC，∴△AMB≌△ADC，
∴BE=CD，∠ABM=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠CAE+∠ACN=90°，
∵∠AFE=∠CFG，
∴∠ACN+∠CAE=90°，
∴∠CGE=90°，
∴BE⊥CD；
（3）△AMN是等腰直角三角形，
由（1）有，AM=AN，∠MAB=∠CAN，
∵∠CAM+∠MAB=∠CAM+∠CAN=∠MAN=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等式的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，垂直的判定方法，利用兩個(gè)角互余和相等的角，得出角相等或互余，是解本題的關(guān)鍵．