Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為.

（1）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求的值；

（2）若，求的面積；

（3）當(dāng)時(shí)，該拋物線上最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的差為，求出與的關(guān)系；若有最大值或最小值，直接寫出這個(gè)最大值或最小值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為1.

【解析】

（1）由點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱，可得出拋物線的對稱軸為直線x=1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出b值；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合OA=OB可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，由拋物線的解析式利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用配方法可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可求出△BCP的面積；

（3）分b＜-2，-2≤b≤0，0＜b≤2，b＞2四種情況考慮，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合二次函數(shù)的圖象找出h關(guān)于b的關(guān)系式，再找出h的最值即可得出結(jié)論．

解：

（1）y=x（x-b）-=x2-bx-，

∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱，

∴=1，

解得：b=2．

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=x2-bx-=-，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-），

∴，

∵，

∴或，

當(dāng)在上時(shí)，，

∴.

∴，

∴，，

∴.

當(dāng)在上時(shí)，

∵點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，

∴不符合題意.

綜上所述可得，.

此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為.

∴.

（3）拋物線的對稱軸為直線，

①當(dāng)即時(shí)，

最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∴，當(dāng)時(shí)，.

②當(dāng)即時(shí)，

最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值4，

當(dāng)時(shí)，有最小值1.

③當(dāng)即時(shí)，

最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∴，

當(dāng)時(shí).

④當(dāng)即時(shí)，

最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∴，當(dāng)，即.

綜上所述

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為1.