Question

【題目】閱讀理解題

定義：如果四邊形的某條對角線平分一組角，那么把這條對角線叫“美妙線”，該四邊形叫做“美妙四邊形”.

如圖：在四邊形ABCD中，對角線BC平分∠ACD和∠ABD,那么對角線BC叫“美妙線”，四邊形ABCD就稱為“美妙四邊形”.

問題：（1）下列四邊形中是“美妙四邊形”的有_______個(gè).

①平行四邊形 ②矩形 ③菱形 ④正方形

A.1 B. 2 C. 3 D.4

（2）四邊形ABCD是“美妙四邊形”,AB=3+,∠BAD=60°,∠ABC=90°，求四邊形ABCD的面積.

（3）如圖，若△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，將△ABC擴(kuò)充成以AC為“美妙線”的“美妙四邊形”ABCD,試求D到BC的距離.

Answer 1

【答案】（1）B；（2）①S=②S=；（3）

【解析】

（1）根據(jù)“美妙四邊形”的定義，結(jié)合平行四邊形，矩形，菱形 ，正方形的性質(zhì)即可判斷.

(2)分①當(dāng)AC是美妙線時(shí)和②當(dāng)BD是美妙線時(shí)，兩種情況進(jìn)行討論.

（3）如圖，過D作MN∥BC交BA延長線于點(diǎn)M且CN⊥MN，證明△MDA∽△NCD

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到設(shè)AM=3x,則DN=4x,MD=4-4x,CN=3x+3，得到，解方程求出的值，即可求解.

.解：(1)菱形和正方形是“美妙四邊形”.

故答案為：B

(2)①當(dāng)AC是美妙線時(shí)，如圖

AB=3+,∠BAD=60°,

，

，

②當(dāng)BD是美妙線時(shí)，如圖,過D作DH⊥AB,

設(shè)AH=a,則

∴

∴

∴DH=3,

，

綜上所述：S=或

（3）如圖，過D作MN∥BC交BA延長線于點(diǎn)M且CN⊥MN

由題意，得∠M=∠N=90°

∠MDA+∠MAD=90°

∠MDA+∠CDN=90°

∴∠MAD=∠CDN

∴△MDA∽△NCD

設(shè)AM=3x,則DN=4x,MD=4-4x,CN=3x+3

∴x=，

∴DH=3x+3=