【題目】如圖所示,菱形ABCD位于平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過菱形的三個頂點A、B、C,已知A(﹣3,0)、B(0,﹣4).
(1)求拋物線解析式;
(2)線段BD上有一動點E,過點E作y軸的平行線,交BC于點F,若S△BOD=4S△EBF,求點E的坐標;
(3)拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△BPD是以BD為斜邊的直角三角形?如果存在,求出點P的坐標;如果不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)點E的坐標為(1,﹣2);(3)存在,P的坐標為或.
【解析】
(1)由點A,B的坐標可得出AB的長度,利用菱形的性質(zhì)結(jié)合點B的坐標可得出點C的坐標,再由點A,B,C的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式;
(2)由EF∥OB,AD∥BC可得出∠OBD=∠FEB,∠ODB=∠FBE,進而可得出△BOD∽△EFB,利用相似三角形的性質(zhì)及S△BOD=4S△EBF,可得出BF=1,由點B,D的坐標,利用待定相似法可求出直線BD的解析式,再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點E的坐標;
(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對稱軸為直線x=,設(shè)點P的坐標為(,m),結(jié)合點B,D的坐標可得出BD2,BP2,DP2的值,利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論.
解:(1)∵點A的坐標為(﹣3,0),點B的坐標為(0,﹣4),
∴OA=3,OB=4,
∴AB==5.
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AD∥BC,BC=AB=5,
∴點C的坐標為(5,﹣4).
將A(﹣3,0),B(0,﹣4),C(5,﹣4)代入y=ax2+bx+c,得:
,解得:,
∴拋物線解析式為.
(2)∵EF∥OB,AD∥BC,
∴∠OBD=∠FEB,∠ODB=∠FBE,
∴△BOD∽△EFB,
∴.
∵S△BOD=4S△EBF,
∴OD=2BF.
∵AD=AB=5,OA=3,
∴OD=2,
∴點D的坐標為(2,0),BF=1.
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+d(k≠0),
將B(0,﹣4),D(2,0)代入y=kx+d,得:
,解得:,
∴直線BD的解析式為y=2x﹣4.
當(dāng)x=1時,y=2x﹣4=﹣2,
∴點E的坐標為(1,﹣2).
(3)∵拋物線解析式為,
∴拋物線的對稱軸為直線.
設(shè)點P的坐標為(,m),
∵點B的坐標為(0,﹣4),點D的坐標為(2,0),
∴BP2=(﹣0)2+[m﹣(﹣4)]2=m2+8m+,
DP2=(﹣2)2+(m﹣0)2=m2+,
BD2=(2﹣0)2+[0﹣(﹣4)]2=20.
∵△BPD是以BD為斜邊的直角三角形,
∴BP2+DP2=BD2,即m2+8m++m2+=20,
整理,得:4m2+16m+5=0,
解得:, ,
∴拋物線的對稱軸上存在點P,使△BPD是以BD為斜邊的直角三角形,點P的坐標為(,)或(,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ABC=90°,AC=AD=2,M、N分別為AC、CD的中點,連接BM、MN、BN.
(1)求證:BM=MA;
(2)若∠BAD=60°,求BN的長;
(3)當(dāng)∠BAD= °時,BN=1.(直接填空)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OA是⊙O的半徑,點E為圓內(nèi)一點,且OA⊥OE,AB是⊙O的切線,EB交⊙O于點F,BQ⊥AF于點Q.
(1)如圖1,求證:OE∥AB;
(2)如圖2,若AB=AO,求的值;
(3)如圖3,連接OF,∠EOF的平分線交射線AF于點P,若OA=2,cos∠PAB=,求OP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝公司招工廣告承諾:熟練工人每月工資至少3000元.每天工作8小時,一個月工作25天.月工資底薪800元,另加計件工資.加工1件A型服裝計酬16元,加工1件B型服裝計酬12元.在工作中發(fā)現(xiàn)一名熟練工加工1件A型服裝和2件B型服裝需4小時,加工3件A型服裝和1件B型服裝需7小時.(工人月工資=底薪+計件工資)
(1)一名熟練工加工1件A型服裝和1件B型服裝各需要多少小時?
(2)一段時間后,公司規(guī)定:“每名工人每月必須加工A,B兩種型號的服裝,且加工A型服裝數(shù)量不少于B型服裝的一半”.設(shè)一名熟練工人每月加工A型服裝a件,工資總額為W元.請你運用所學(xué)知識判斷該公司在執(zhí)行規(guī)定后是否違背了廣告承諾?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,函數(shù)y1=kx+b的圖象與函數(shù)(x<0)的圖象交于A(a﹣2,3)、B(﹣3,a)兩點.
(1)求函數(shù)y1、y2的表達式;
(2)過A作AM⊥y軸,過B作BN⊥x軸,試問在線段AB上是否存在點P,使S△PAM=3S△PBN?若存在,請求出P點坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解全校3000名學(xué)生對學(xué)校設(shè)置的足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球共五項球類活動的喜愛情況,在全校范圍內(nèi)隨機調(diào)查了m名學(xué)生(每名學(xué)生必選且只能選擇這五項活動中的一種)進行了問卷調(diào)查,將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)m= ,n= .并補全圖中的條形統(tǒng)計圖.
(2)請你估計該校約有多少名學(xué)生喜愛打乒乓球.
(3)在抽查的m名學(xué)生中,有A、B、C、D等10名學(xué)生喜歡羽毛球活動,學(xué)校打算從A、B、C、D這4名女生中,選取2名參加全市中學(xué)生女子羽毛球比賽,請用列表法或畫樹狀圖法,求同時選中B、C的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標原點,矩形的邊分別平行于坐標軸,點C在反比例函數(shù)的圖象上.若點A的坐標為(﹣4,﹣4),則k的值為( )
A. 16B. ﹣3C. 5D. 5或﹣3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A1(1,)在直線y=kx上,過點A1作A1B1∥y軸交直線y=x于點B1,以A1B1為邊在A1B1的右側(cè)作正方形A1B1C1D1,直線C1D1分別交直線y=kx和y=x于A2,B2兩點,以A2B2為邊在A2B2的右側(cè)作等正方形A2B2C2D2…,直線C2D2分別交直線y=kx和y=x于A3,B3兩點,以A3B3為邊在A3B3的右側(cè)作正方形A3B3C3D3,…,按此規(guī)律進行下去,則正方形AnBnCnDn的面積為____________.(用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示)
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