Question

13．如圖所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下列結(jié)論：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④OE=OD+OC．其中正確結(jié)論的個數(shù) （　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，證出∠ACE=∠BCD，由SAS證明△AC≌△BCE，得出AE=BD，①正確；∠CAG=∠CBF，由AAS證明△ACG≌△BCF，得出AG=BF，CG=CF，②正確；證明△CFG是等邊三角形，得出∠GFC=∠ACB，證出FG∥BE；③正確；在OE上截取OG=OD，連接DM，由SAS證明△DME≌△DOC，得出ME=OC，得出④正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵△ABC和△CDE均是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCD}&{\;}\\{CE=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AC≌△BCE（SAS），
∴AE=BD，①正確；
∠CAG=∠CBF，
∵∠ACG=180°-2×60°=60°，
∴∠ACG=∠BCF=60°，
在△ACG和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠BCF}&{\;}\\{∠CAG=∠CBF}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCF（AAS），
∴AG=BF，CG=CF，②正確；
∵∠ACG=60°，
∴△CFG是等邊三角形，
∴∠GFC=60°=∠ACB，
∴FG∥BE；③正確；
在OE上截取OM=OD，連接DM，如圖所示：
∵∠DOM=∠OBC+∠OEB=∠CAG+∠OEB=60°，
∴△ODM是等邊三角形，
∴OD=DM，∠ODG=∠CDE=60°，
∴∠ODC=∠MDE，
在△DME和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=OD}&{\;}\\{∠MDE=∠ODC}&{\;}\\{DE=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DME≌△DOC（SAS），
∴ME=OC，
∵OE=OM+ME，
∴OE=OD+OC，④正確；
故選D．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定等知識；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．