Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊BC為直徑作半圓O交斜邊于D，OE∥AC，交AB于E，連接DE．
①求證：DE是⊙O的切線；
②連接BD，若⊙O的半徑為4，DE=3，求BD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：①首先連接OD，由OE∥AC，易證得∠BOE=∠DOE，即可證得△BOE≌△DOE，則可得∠ODE=∠OBE=90°，即可證得結(jié)論；
②由⊙O的半徑為4，DE=3，利用勾股定理即可求得OE的長，由等腰三角形的三線合一，可得OE垂直平分BD，繼而求得答案．

解答：①證明：連接OD，
∵OE∥AC，
∴∠BOE=∠C，∠DOE=∠ODC，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠BPE=∠DOE，
在△BOE和△DOE中，

OB=OD ∠BOE=∠DOE OE=OE

，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線；

②解：∵⊙O的半徑為4，DE=3，
∴OD=4，
∵∠ODE=90°，
∴OE=

OD2+DE2

=5，
∵OD=OB，∠DOE=∠BOE，
∴OE⊥BD，DF=BF，
∵S_△ODE=

1

2

DE•OD=

1

2

OE•DF，
∴DF=

OD•DE

OE

=2.4，
∴BD=2DF=4.8．

點評：此題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．