【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,4),直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B,拋物線y=x2的頂點(diǎn)在直線AO上運(yùn)動(dòng),與直線x=2交于點(diǎn)P,設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.
(1)如圖1,若m=﹣1,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)在拋物線平移的過程中,當(dāng)△PMA是等腰三角形時(shí),求m的值;
(3)如圖2,當(dāng)線段BP最短時(shí),相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△QMA的面積與△PMA的面積相等?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】解:(1)設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx,
∵A(2,4),
∴2k=4,
∴k=2,
∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x.
由題意,把x=﹣1,代入得,y=﹣2,
∴拋物線的頂點(diǎn)M(﹣1,﹣2),
∴拋物線解析式為:y=(x+1)2﹣2=x2+2x﹣1,
當(dāng)x=2時(shí),y=7,
∴點(diǎn)P(2,7);
(2)如圖1,

在拋物線平移的過程中,設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)(m,2m)當(dāng)△PMA是等腰三角形時(shí),
∴有PA=PM,
由點(diǎn)A(2,4),
可求:tan∠A=,cos∠A=,
過點(diǎn)M作MN垂直于直線x=2,過點(diǎn)P作PH⊥AM,連接MP,
拋物線解析式為:y=(x﹣m)2+2m,
當(dāng)x=2時(shí),y=m2﹣2m+4,
此時(shí),MN=2﹣m,AN=4﹣2m,
AP=4﹣(m2﹣2m+4)=﹣m2+2m,
∴AH=AP×=,
AM=2AH=
=,
代入解得:m=,或m=2(舍去)
∴m=;
(3)如圖2,

∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且在直線OA上移動(dòng),
∴y=2m.
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,2m).
∴拋物線函數(shù)解析式為y=(x﹣m)2+2m.
∴當(dāng)x=2時(shí),y=(2﹣m)2+2m=m2﹣2m+4.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,m2﹣2m+4).
∵PB=m2﹣2m+4=(m﹣1)2+3,
∴當(dāng)m=1時(shí),PB最短.
當(dāng)線段PB最短時(shí),此時(shí)拋物線的解析式為y=(x﹣1)2+2
即y=x2﹣2x+3.
假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q,使SQMA=SPMA
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,x2﹣2x+3).
①點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí),過P作直線PC∥AO,交y軸于點(diǎn)C,
∵PB=3,AB=4,
∴AP=1,
∴OC=1,
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,﹣1),
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,3),
∴直線PC的函數(shù)解析式為y=2x﹣1,
∵SQMA=SPMA ,
∴點(diǎn)Q落在直線y=2x﹣1上,
∴x2﹣2x+3=2x﹣1,
解得x1=2,x2=2,
即點(diǎn)Q(2,3),
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合,
∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q(2,3),使△QMA與△APM的面積相等,
②當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí),
作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱稱點(diǎn)D,過D作直線DE∥AO,交y軸于點(diǎn)E,
∵AP=1,
∴EO=DA=1,
∴E、D的坐標(biāo)分別是(0,1),(2,5),
∴直線DE函數(shù)解析式為y=2x+1,
∵SQMA=SPMA ,
∴點(diǎn)Q落在直線y=2x+1上,
∴x2﹣2x+3=2x+1,
解得:x=2+,或x=2-
代入y=2x+1,得:y=5+2或y=5-2
∴△QMA的面積與△PMA的面積相等時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(2+,5+2),(2-,5-2).
【解析】(1)先求出直線OA的解析式,代入m=﹣1,求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),即可求出拋物線解析式;
(2)過點(diǎn)M作MN垂直于直線x=2,過點(diǎn)P作PH⊥AM,連接MP,設(shè)出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo),表示PA,AM,MN,的長(zhǎng)度,結(jié)合∠A的三角函數(shù)列出方程求解即可;
(3)先求出BP最短時(shí)的拋物線解析式,設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo),根據(jù)題意構(gòu)造平行線,分Q在直線OA的上方和下方兩種情況分別列式求解即可.

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A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四邊形 D. 正方形

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B.
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(2)已知 ,且客廳面積是衛(wèi)生間面積的 倍,如果鋪 平方米地磚的平均費(fèi)用為 元,那么小王鋪地磚的總費(fèi)用為多少元?

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A. 左轉(zhuǎn) 80° B. 右轉(zhuǎn)80° C. 右轉(zhuǎn) 100° D. 左轉(zhuǎn) 100°

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