Question

【題目】如圖，中，平分交于點(diǎn) ，為的中點(diǎn)．

（1）如圖①，若為的中點(diǎn)，，，，，求；

（2）如圖②，為線段上一點(diǎn)，連接，滿足，．求證：．

Answer 1

【答案】（1） （2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AD∥BC，由DF平分∠ADC可得△DCF為等腰三角形，即DC=FC=8，再根據(jù)AB⊥CD得出△ACD為直角三角形，由G是HD的中點(diǎn)得出DH=2GC=，利用勾股定理得出HC=4，即AH=5，最后根據(jù)為的中點(diǎn)，即可得出MG的值.

（2）過(guò)點(diǎn)D作DN∥AC交CG延長(zhǎng)線于N，可得， ，由G是DH的中點(diǎn)得，故，即，再由四邊形ABCD是平行四邊形可得∠DAC=∠ACB=∠AND，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BMF=∠AND，∠BMF+∠B=∠AND+∠ADC，再由∠MFC=∠NDC，且CF=CD，∠FCM=∠DCM證明得出△MFC△NDC(ASA)，即可得出CM=CN=2CG.

（1）四邊形ABCD是平行四邊形

AB∥CD，AD∥BC

又AD∥BC

∠ADF=∠DFC

DF平分∠ADC

∠ADF=∠FDC

∠DFC=∠FDC

△DCF為等腰三角形

CD=FC=8

AB⊥CD且AB∥CD

AC⊥CD

△ACD為直角三角形

又G是HD的中點(diǎn)且GC=

DH=2GC=(斜邊中線=斜邊的一半)

RT△HCD中

DC=8，HD=

AC=9

AH=5

M是AD的中點(diǎn)

.

（2）

證明：過(guò)點(diǎn)D作DN∥AC交CG延長(zhǎng)線于N

，

G是DH的中點(diǎn)

，且∠N=∠ACG，∠CGH=∠DGN

又四邊形ABCD是平行四邊形

∠B=∠ADC，AD∥BC

∠DAC=∠ACB=∠AND

∠MFB=∠BAC,且∠BMF=180°-∠B-∠BFM，∠ACB=180°-∠B-∠BAC

∠BMF=∠ACB

∠BMF=∠ADN

∠BMF+∠B=∠AND+∠ADC

∠MFC=∠NDC，且CF=CD，∠FCM=∠DCM

△MFC△NDC(ASA)

CM=CN=2CG