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【題目】如圖,在菱形中,=60°, AB=2,點EAB上的動點,作∠EDQ=60°交BC于點Q,點PAD上,PD=PE.

(1)求證:AE=BQ

(2)連接PQ, EQ,當∠PEQ=90°時,求的值;

(3)當AE為何值時,△PEQ是等腰三角形.

【答案】1)見解析;(2=;(3AE2

【解析】

1)連結DB,根據“ASA”證明△ADE≌△BDQ即可;

2)先證明△DEQ是等邊三角形,可得∠DEQ=60°,進而可證明∠AED90°,根據勾股定理求出DE的長,根據兩平行線間的距離相等求出PQ的長,即可求出的值;

3)分三種情況討論求解:①當QP=QE時,②當PE=QE時,③當PE=PQ.

解:(1)連結DB,

∵四邊形ABCD為菱形,A60°,

AD=ABDB,DBQ=∠A60°.

∴∠ADB60°.

∵∠EDQ=60°,

∴∠ADE=∠BDQ.

∴△ADE≌△BDQ.

AE=BQ.

2)如圖,

∵△ADE≌△BDQ,

DE=DQ.

∵∠EDQ=60°

∴△DEQ是等邊三角形,

∴∠DEQ=60°DE=EQ=DQ.

∵∠PEQ=90°,

∴∠PED30°.

PD=PE,

∴∠PDE=∠PED30°.

∴∠AED90°.

AD=2,

DE.

PD=PE, EQ=DQ,

PQDE的中垂線,

PQ= AB=2.

=.

3)①當QP=QE,如圖1,

∵∠EQP=∠DQP30°,

∴∠QPE=∠QEP=∠PDQ 75°.

∴∠PED=∠PDE15°,

∴∠APE30°,

∴∠AEP90°.

AP2AE,PEPDAE,

AE2AE=2,

AE.

②當PE=QE,

∵△DEQ是正三角形,

∴△PDE是正三角形,ADE60°,

E與點B重合,如圖2,

AE=2.

③當PE=PQ,

∵∠EQP30°,

∴∠PEQ=30°,由圖可知∠PEQ60°,

∴點E不存在.

綜上所述,AE2,PEQ是等腰三角形.

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∴ ∠EAC =∠ ,(

AB平分∠EAC,CD平分∠ACG( 已知 )

∴∠ =∠EAC,∠4= ( 角平分線的定義 )

∴∠ =∠4(等量代換)

∴AB∥CD ).

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