Question

如圖1，△ACB、△AED都為等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上，連CE，M、N分別為BD、CE的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥CE；
（2）如圖2將△AED繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，求證：CE=2MN．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)DN交AC于F，連BF，推出DE∥AC，推出△EDN∽△CFN，推出

DE

CF

=

EN

CN

=

DN

NF

，求出DN=FN，F(xiàn)C=ED，得出MN是中位線，推出MN∥BF，證△CAE≌△BCF，推出∠ACE=∠CBF，求出∠CBF+∠BCE=90°，即可得出答案；
（2）延長(zhǎng)DN到G，使DN=GN，連接CG，延長(zhǎng)DE、CA交于點(diǎn)K，求出BG=2MN，證△CAE≌△BCG，推出BG=CE，即可得出答案．

解答：（1）證明：延長(zhǎng)DN交AC于F，連BF，
∵N為CE中點(diǎn)，
∴EN=CN，
∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，DE=AE，AC=BC，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°，
∴DE∥AC，
∴△EDN∽△CFN，
∴

DE

CF

=

EN

CN

=

DN

NF

，
∵EN=NC，
∴DN=FN，F(xiàn)C=ED，
∴MN是△BDF的中位線，
∴MN∥BF，
∵AE=DE，DE=CF，
∴AE=CF，
∵∠EAD=∠BAC=45°，
∴∠EAC=∠ACB=90°，
在△CAE和△BCF中，

CA=BC ∠CAE=∠BCF AE=CF

，
∴△CAE≌△BCF（SAS），
∴∠ACE=∠CBF，
∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
即BF⊥CE，
∵M(jìn)N∥BF，
∴MN⊥CE．

（2）證明：延長(zhǎng)DN到G，使DN=GN，連接CG，延長(zhǎng)DE、CA交于點(diǎn)K，
∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，
∴MN是△BDG的中位線，
∴BG=2MN，
在△EDN和?CGN中，

DN=NG ∠DNE=∠GNC EN=NC

，
∴△EDN≌△CGN（SAS），
∴DE=CG=AE，∠GCN=∠DEN，
∴DE∥CG，
∴∠KCG=∠CKE，
∵∠CAE=45°+30°+45°=120°，
∴∠EAK=60°，
∴∠CKE=∠KCG=30°，
∴∠BCG=120°，
在△CAE和△BCG中，

AC=BC ∠CAE=∠BCG AE=CG

，
∴△CAE≌△BCG（SAS），
∴BG=CE，
∵BG=2MN，
∴CE=2MN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線，平行線性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，難度偏大．